Программа вступительного экзамена в аспирантуру ФИЦ ИВТ по специальности 01.01.07 Вычислительная математика
Линейная алгебра
Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы. Детерминант квадратной матрицы. Два определения ранга матрицы (в терминах линейной независимости строк и неравенства нулю миноров). Система линейных уравнений. Критерий совместимости Кронекера-Капелли. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора. Жорданова форма (без доказательства). Сингулярное разложение. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции для квадратичной формы. Критерий Сильвестера (без доказательства).
Геометрия
Формулы замены координат. Вычисление скалярных произведений, длин отрезков, углов. Одинаково и противоположно ориентированные реперы, ориентация пространства. Вычисление объема параллелепипеда, построенного по реперу, через координаты составляющих векторов. Геометрический смысл детерминанта матрицы Грамма. Векторное и смешанное произведение в 3-х мерном ориентированном евклидовом пространстве. Кривизна кривой. Первая и вторая квадратичные формы поверхности.
Математический анализ
Теория пределов. Теория рядов. Основные теоремы о непрерывных функциях. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы о средних значениях, теорема о неявной функции, формула Тейлора). Основные теоремы интегрального исчисления (теоремы о замене переменных, теоремы о повторных интегралах, формулы Грина, Остроградского, Стокса).
Функциональный анализ
Метрические пространства. Полнота. Непрерывные отображения. Компактные множества. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных отображений для решения операторных уравнений. Линейные, нормированные, банаховы и гильбертовы пространства. Сильная и слабая сходимость. Свойства коэффициентов ряда Фурье. Непрерывные линейные операторы. Норма и спектральный радиус оператора. Сходимость операторов. Обратимость. Теоремы о существовании обратного оператора. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Принцип равномерной ограниченности. Теорема Банаха-Штейнгауза, её приложения. Теорема Рисса (для гильбертова пространства). Сопряженные, самосопряженные, симметричные, положительно определенные, вполне непрерывные операторы и их свойства.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения. Зависимость решения от начальных условий и параметров. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решения линейной однородной системы. Построение общего решения.
Уравнения в частных производных
Математические модели физических задач, приводящие к уравнениям математической физики. Основные уравнения математической физики. Постановка задач для уравнений математической физики. Корректно и не корректно поставленные задачи.
Численные методы линейной алгебры
Прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений. Сходимость и оптимизация стационарных итерационных методов. Метод последовательной верхней релаксации, чебышевские итерационные методы, метод минимальных невязок, метод сопряженных градиентов. Задача на собственные значения. Степенной метод. Метод вращений.
Численный анализ
Интерполяция. Интерполяционные многочлены Лагранжа, Ньютона. Интерполяция функции одного переменного с помощью кубических сплайнов. Кусочно-кубическая интерполяция со сглаживанием. Сходимость сплайн-функций. Численное интегрирование.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Методы Рунге – Кутты. Интерполяционный метод Адамса. Экстраполяционный метод Адамса. Метод предиктор – корректор. Конечно-разностные методы решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 2 порядка.
Общие вопросы теории разностных схем
Понятие аппроксимации. Порядок аппроксимации. Схемы повышенного порядка аппроксимации. Корректность постановки разностной задачи. Устойчивость. Сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи. Теорема о сходимости.
Численное решение уравнений в частных производных
Характеристика уравнений в частных производных. Постановка задач для уравнений математической физики. Семейство двухслойных разностных схем для уравнения теплопроводности. Явная и неявная разностная схема. Схема Кранка – Николсона. Семейство трехслойных разностных схем. Схема Ричардсона. Схема Дюффорта – Франкела. Схема повышенного порядка аппроксимации. Методы решения разностной задачи Дирихле. Метод установления. Критерий остановки итерационного процесса. Чебышевский набор параметров итерации. Метод дробных шагов, решение многомерных задач. Понятие экономичной разностной схемы. Схема Писмана – Рекфорда для решения уравнения теплопроводности. Разностные схемы для систем гиперболических уравнений первого порядка. Уравнение акустики. Схема крест. Схема бегущего счета. Схема Лакса.
Список литературы
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
- Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.
- Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.: Наука. 1973.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.М.: Наука, 1981.
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.:, Высшая школа, 1981, т .I.
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.:, Высшая школа, 1981, т. II.
- Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.
- Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
- Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1964.
- Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.
- Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977.
- Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 1994.
Программа утверждена на заседании Ученого совета ИВТ СО РАН (протокол № 4 от 11.05.2007)
